หลักของอาร์คิมิดิส

หากพูดหลักของอาร์คิมิดิส (Archimedes’ Principle) เรามักจะพูดถึงเรื่องเล่าหนึ่งเกี่ยวกับนักปราชญ์ผู้นี้อยู่เสมอ รวมทั้งตำนานถ้วยยูเรก้า

มงกุฎเจ้าปัญหาที่มาของคำว่ายูเรก้า

เรื่องที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายเกี่ยวกับนักปราชญ์นามว่า อาร์คิมิดิส ก็คือ อาร์คิมิดิสค้นพบการหาปริมาตรของวัตถุที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอ (นอกเหนือจากรูปทรงเรขาคณิตที่มีความสมมาตร) อ้างจากบันทึกของวิศวกร และเป็นนักเขียนชาวโรมันนามว่า Vitruvius ผู้เกิดทีหลังอาร์คิดิสหลายร้อยปี

อาร์คิมิดิสได้โจทย์ท้าทายในการทำมงกุฎสำหรับกษัตริย์ Hiero II แห่งซีราคิวส์ โดยเกิดข้อกังขาว่าช่างทองได้นำทองคำบริสุทธิ์ไปสร้างมงกุฎทั้งหมดหรือไม่ (ได้ใส่แร่อื่นผสมอื่นๆหรือไม่) และจะมีวิธีตรวจสอบอย่างไร

ซึ่งในสมัยนั้นเครื่องตวงปริมาตร และเครื่องชั่งก็มีอยู่แพร่หลาย แต่เราจะรู้ได้อย่างไรว่ามงกุฎนั้นทำจากทองคำบริสุทธิ์จริงๆ สมมติว่าได้ทองคำมา 3 kg เอามวลสารออกไป 0.5 kg จากนั้นผสมกับโลหะอื่นให้ได้ 3 kg เหมือนเดิม ความแวววาวของทองคำอาจลดไปไม่มาก (อย่าลืมว่าเรายังไม่มีเครื่องวัดความแวววาวของทองคำในสมัยกรีกโรมัน)

แค่อาบน้ำก็แก้ปัญหาได้

ปัญหาดังกล่าวท้าทายต่ออาร์คิมิดิสเป็นอย่างมาก ขณะที่เขาไปอาบน้ำเพื่อผ่อนคลายจากปัญหาดังกล่าว เขาเหม่อลอยจนน้ำล้นอ่าง จากนั้นเมื่อเขาลงไปแช่ในน้ำ น้ำก็ล้นออกมานองเต็มพื้น เขาก็ลองพิจารณาเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ณ ตอนนั้้น พร้อมกับปัญหาที่เผชิญมาก็คิดได้ว่า ถ้านำมงกุฎมาใส่ในภาชนะบรรจุน้ำเต็มปริ่ม ปริมาตรของมงกุฎจะไปแทนที่ปริมาตรน้ำ และเมื่อนำมวลของมงกุฎที่วัดได้ไปเทียบกับปริมาตรของน้ำล้น ก็จะได้ความหนาแน่นของมงกุฎออกมา หากความหนาแน่นของมงกุฎที่ช่างทองสร้างขึ้นไม่เท่ากับความหนาแน่นของทองคำบริสุทธิ์ ก็จะสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นของแท้หรือไม่

เมื่ออาร์คิมิดิสคิดได้ ด้วยความตื่นเต้น เขารีบลุกจากอ่างวิ่งไปตามถนนทั้งๆที่เปลือยกายอยู่ พร้อมกับอุทานว่า “heúrēka!” หรือ “Eureke!” ซึ่งแปลเป็นภาษาอังกฤษได้ว่า “I have found” หรือ “ฉันคิดออกแล้ว” และเป็นที่มาของชื่อ “ถ้วยยูเรก้า” ซึ่งเป็นเครื่องมือวัดปริมาตรของวัตถุที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอที่มีให้เห็นในปัจจุบันนั่นเอง

การทดลองในปัจจุบัน

อาร์คิมิดิส ทำให้มนุษย์สามารถวัดความหนาแน่นของสสารได้เป็นครั้งแรก จากการค้นพบวิธีิการวัดปริมาตรของวัตถุที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอ ในปัจจุบันเราสามารถหาปริมาตรของวัตถุดังกล่าวได้ด้วยถ้วยยูเรก้า ดังรูป

แล้วจะหาความหนาแน่นได้อย่างไร

ในสมัยกรีกก่อนเครื่องชั่งแบบสเกลยังไม่ถือกำเนิด แต่การวัดมวลจะเป็นในเชิงเปรียบเทียบ โดยจะสมมติตัวอย่างเหตุการณ์ดังนี้

1. วัดมวลของวัตถุด้วยเครื่องชั่ง โดยใช้ตาชั่งสองแขน เช่น ทองคำ 1 ก้อน หนักเท่ากับถุงเมล็ดพันธุ์ข้าวโพด 2 ถุงเล็ก เป็นต้น
2. ส่วนปริมาตรสามารถวัดได้โดยอาศัยการแทนที่น้ำ และนำน้ำล้นไปใส่ภาชนะที่มีความสมมาตรทางเรขาคณิต จากนั้นก็ใช้สมการหาปริมาตรรูปทรงสมมาตร ก็จะได้ปริมาตรของวัตถุที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอได้
3. หาความหนาแน่นได้ดังนี้

สมมติว่าน้ำมีปริมาตร 1 ลูกบาศก์หน่วย

ดังนั้น ทองคำที่ใช้ทำมงกุฎจะมีความหนาแน่นเท่ากับ 2 ถุงเมล็ดพันธุ์ข้าวโพดต่อน้ำหนึ่งหน่วยลูกบาศก์

ถ้าทองคำแท้มีความหนาแน่นเท่ากับ ถุงเมล็ดพันธุ์ 2 ถุงต่อปริมาตรน้ำหนึ่งหน่วย แสดงว่ามงกุฎ A เป็นของแท้นั่นเอง ในปัจจุบันเราวัดมวลในหน่วยกิโลกรัม และปริมาตรในหน่วยลูกบาศก์เมตร ดังนั้นความหนาแน่น จึงมีหน่วยเป็น กิโลกรัมต่อหนึ่งหน่วยลูกบาศก์เมตร